万博客户端下载63-69 5. 蒋声

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  星形线与力学 谢建华 (西南交通大学应用力学与工程系,成都,610031) 摘要:星形线的几何性质用运动学的方法证明比较直观,这些性质在力学和日常生活中有非常有趣的应用。 关键词:星形线;几何;运动学;应用 星形线,一个小圆在一个固定的大圆内部作纯滚动,如果大圆半径是小圆半径的四倍,那么小圆圆周上任一点的轨迹称为星形线星形线的性质 设开始时,点与大圆的点相重合,由于弧长等于弧长 ,万博客户端下载及,有 , (1) 建立直角坐标系,点的坐标为: 或 利用三角公式,上式简化为: (2) 在(2)中消去,得 (3) (2)和(3)即为星形线,作大圆半径,其中是两圆的接触点,是小圆的直径。过与点作直线,分别交轴和轴于点和点。 由(1)可知 , 所以与都是等腰三角形,故有 (4) 及 (5) 由于点是小圆的速度瞬心,其上点的速度垂直于,即指向点,于是是星形线的切线。万博客户端下载我们得到如下结论: 星形线任一切线被轴和轴所截长度为的线) 如长度为的线段两端点分别限制在两相互垂直的直线上移动,其包络线.随意平衡问题 在一堵光滑铅直的墙面与光滑曲面之间搁置一根长度为的均匀杆,光滑曲面应为什么形状,使杆在任何位置都能平衡? 因为杆在任一位置可保持平衡其重心高度为一常值,即重心在同一水平线上,另外杆的端点始终在铅直线上,因此应为星形线所示,则其方程为: (7) 图3 随意平衡问题 通过问题 如图4所示,有一直角过道两边各宽和,问能容许多长的梯子通过? 图 4 通过问题 解法一: 梯子如图放置时其长度为 (8) 显然容许通过梯子的长度应小于上述函数的最小值,令 (9) 解出 (10) , 容易计算出: (11) 故 (12) 解法二: 星形线) 墙角的坐标为恰好在星形线)上,由此条件得到 这时梯子的斜率为 (14) 图 5 如果搬动一张桌子通过一墙角,如果桌子的宽为,如图5(a)所示,那么桌子的长度最大不能超过多少?我们考虑星形线)的一个重要性质。令 (15) 方程(13)是不变的,即星形线)中的曲线(为参数)是关于坐标原点仿射对称的。如果是过坐标原点的射线)中两条不同的星形线分别交于点和点,那么这两条的星形线在点和点的切线是平行的,并保持不变的距离。根据这些性质,就可以利用前述关于梯子最大长度的结果来导出桌子的最大长度。具体做法:设和分别由(12)和(14)确定,过角点作一条斜角为直线,然后作的平行线,两者距离为。 被轴和轴所截线段的长度即为桌子的最大长度。不难算出 (15) 特别地,如果,那么 (16) 这与[4]中结果是相同的。 公共汽车门开启问题: 图 5公共汽车门开启问题 (a) 开启时间问题 图5(a)所示的是公共汽车的折叠式门(俯视),我们来比较其与传统的门6(c)开启时间的快慢问题。设折叠式门的每扇门宽为,质量;而传统的门宽为,质量为。两种门上作用同样的常力矩。 对叠式门,点坐标为: (14) 叠式门系统的动能: (15) 由动能定理: (16) 由(16) (17) 传统的门图5(c),门的动能为: (18) 动能定理: (19) 由(19) (20) 由(17) (21) 所以叠式门完全开启的时间要比传统的门要少。 设参数为:。计算得: (b)开启所占空间问题 我们来讨论公共汽车们开启过程所占空间问题。如图5(a),在折叠门在开门过程中,直线簇的包络线是星形线) 由直线簇形成包络线的过程,可知门在空间所占的位置如图中曲线,轴和轴正向所包围的区域(图5(b)),其中星形线的一段(),点的坐标为。将分成,和,其中的面积为: , 而 如果用普通的门(图5(c)),则 折叠门所需的空间只是普通门的倍。 参考文献 V.C. Boltyanskii. Envelopes. Pergamon Press,1964 施坦豪斯。数学万花筒。湖南教育出版社,b. Statics. 1912 4. 朱志平。星形线的性质在两个极值问题中的应用。邯郸师专学报(综合版),1994,1-2期,63-69 5. 蒋声。形形色色的曲线。上海教育出版社, The Astroid And Mechanics Xie Jianhua ( Department of Applied Mechanics and Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu,610031,China) Abstract: Keywords. 星形线与力学(理论力学教学论文),谢建华,2009-11-13

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